Weaver sinh ra tại Manhattan, New York City, con gái duy nhất của Elizabeth Inglis (née Desiree Mary Lucy Hawkins; 1913–2007), nữ diễn viên, và Sylvester "Pat" Weaver (1908–2002), sáng lập đồng thời là giám đốc đài truyền hình NBC. Chú của bà, Doodles Weaver (1911–1983), là diễn viên hài kịch và diễn viên trong phim. Mẹ của bà là người Anh, đến từ Colchester, Essex, và cha của bà là người Mỹ có tổ tiên người Anh, Xcốt-len, và Hà Lan, bao gồm họ hàng ở New England. Weaver bắt đầu sử dụng tên "Sigourney Weaver" năm 1963 sau một vai diễn nhỏ (Mrs. Sigourney Howard, dì của Jordan Baker) trong chương 3 của tiểu thuyết Gatsby vĩ đại của F. Scott Fitzgerald.

Weaver theo học ở Ethel Walker School, một trường dự bị dành cho nữ ở Simsbury, Connecticut. Bà cũng theo học The Chapin School và The Brearley School. Bà được báo cáo đạt chiều cao 179 cm khi 14 tuổi, và bà chỉ cao thêm 1 inch tới khi đạt chiều cao khi trưởng thành là 182 cm. Năm 1967, khi bà 18 tuổi, Weaver đến Israel và tham gia tình nguyện ở các khu định cư trong vài tháng.

Weaver theo học Sarah Lawrence College. Năm 1972 bà tốt nghiệp với chứng chỉ B.A chuyên ngành tiếng Anh tại đại học Stanford, nơi bà bắt đầu tham gia diễn xuất khi sống trong cộng đồng nữ sinh Beta Chi ở Stanford dành cho biểu diễn nghệ thuật. Weaver đạt được chứng chỉ diễn xuất nghệ thuật tại Yale University School of Drama năm 1974, tại đây bà xuất hiện trong dàn hợp xướng phiên bản ca nhạc của bộ phim The Frog của Stephen Sondheim, bà còn xuất hiện trong một tác phẩm khác trong vai một người lính Roman, tác phẩm có sự tham gia của Meryl Streep. Weaver sau đó diễn xuất trong vở kịch của một người bạn đồng thời là bạn cùng lớp Christopher Durang. Bà sau đó xuất hiện trong tác phẩm hài kịch Off-Broadway Therapy năm 1981, được đạo diễn bởi đạo diễn triển vọng Jerry Zarks.